1085 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), B (1; 4), C (8; 7), D (5; 0), явля- ется ромбом. Найдите его площадь.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны. Затем нужно найти его площадь.

Длина стороны вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

1) Найдем длину стороны AB:

$$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$$

2) Найдем длину стороны BC:

$$BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$

3) Найдем длину стороны CD:

$$CD = \sqrt{(5 - 8)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$$

4) Найдем длину стороны DA:

$$DA = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$

Так как все стороны равны, ABCD - ромб.

Для нахождения площади ромба, можно использовать формулу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - длины диагоналей ромба.

5) Найдем длину диагонали AC:

$$AC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

6) Найдем длину диагонали BD:

$$BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

7) Найдем площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 2 = 40$$

Ответ: ABCD - ромб, площадь равна 40.