1083 Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) сред- ние линии треугольника.

а) Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$$, $$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

1) Середина стороны AB:

$$x = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Середина AB: (-1; 9)

2) Середина стороны BC:

$$x = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ $$y = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Середина BC: (0; 2)

3) Середина стороны AC:

$$x = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$y = \frac{13 + (-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Середина AC: (-4; 6)

б) Медиана, проведённая к стороне AC, начинается в вершине B (3; 5) и заканчивается в середине AC (-4; 6). Длина медианы вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ $$d = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

в) Средние линии треугольника соединяют середины сторон треугольника. Таким образом, средние линии параллельны сторонам треугольника и равны половине длины этих сторон.

Длина средней линии, параллельной AC, равна половине длины AC, то есть $$\frac{\sqrt{72}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Длина средней линии, параллельной AB, равна половине длины AB, то есть нужно вычислить длину AB.

$$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (5 - 13)^2} = \sqrt{8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$

Средняя линия, параллельная AB, равна половине AB, то есть $$4\sqrt{2}$$

Длина средней линии, параллельной BC, равна половине длины BC, то есть нужно вычислить длину BC.

$$BC = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

Средняя линия, параллельная BC, равна половине BC, то есть $$3\sqrt{2}$$

Ответ: a) координаты середин сторон треугольника: (-1; 9), (0; 2), (-4; 6); б) медиана, проведённая к стороне AC: $$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$; в) средние линии треугольника: $$3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 3\sqrt{2}$$.