1084 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), C (−3; 2), D (0;-1), явля- ется квадратом.

Для доказательства, что четырехугольник является квадратом, нужно доказать, что: 1) Все стороны равны. 2) Все углы прямые (диагонали равны и перпендикулярны).

1) Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA.

Длина стороны вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

AB = $$\sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

BC = $$\sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

CD = $$\sqrt{(0 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

DA = $$\sqrt{(3 - 0)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

Так как все стороны равны, ABCD - ромб.

2) Найдем длины диагоналей AC и BD.

AC = $$\sqrt{(-3 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (0)^2} = \sqrt{36} = 6$$

BD = $$\sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(0)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Так как диагонали равны, ABCD - квадрат.

Ответ: Доказано, что ABCD - квадрат.