998 Докажите, что четырёхугольник АBCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), B (1; 4), C (8; 7), D (5; 0), явля- ется ромбом. Найдите его площадь.

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны.

1. Найдем длины сторон четырехугольника:

$$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$$ $$BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$ $$CD = \sqrt{(5 - 8)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$$ $$DA = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$

Так как все стороны равны, то ABCD - ромб.

2. Найдем площадь ромба. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей AC и BD:

$$AC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ $$BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 \cdot 2 = 40$$

Ответ: Площадь ромба равна 40.