1001 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у=x+2.

Пусть центр окружности имеет координаты (a; b). Так как центр лежит на прямой y = x + 2, то b = a + 2.

Уравнение окружности имеет вид $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

Окружность проходит через точки A(3; 0) и B(-1; 2), следовательно координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности:

$$(3 - a)^2 + (0 - b)^2 = R^2$$

$$(-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2$$

Так как обе части равны R^2, приравняем их:

$$(3 - a)^2 + (-b)^2 = (-1 - a)^2 + (2 - b)^2$$

Раскроем скобки, учитывая, что b = a + 2:

$$(3 - a)^2 + (-(a + 2))^2 = (-1 - a)^2 + (2 - (a + 2))^2$$

$$9 - 6a + a^2 + a^2 + 4a + 4 = 1 + 2a + a^2 + (-a)^2$$

$$2a^2 - 2a + 13 = 2a^2 + 2a + 1$$

$$4a = 12 \Rightarrow a = 3$$

Тогда b = a + 2 = 3 + 2 = 5. Центр окружности (3; 5).

Теперь найдем радиус, используя точку A(3; 0):

$$R^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0 + 25 = 25$$

R = 5

Уравнение окружности:

$$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$$

Ответ: (x - 3)² + (y - 5)² = 25