1003 Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5), В (3; −1), C (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпен дикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

а) Составим уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Серединный перпендикуляр - это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

1. К стороне AB. Найдем середину отрезка AB: $$M_{AB} = (\frac{-7+3}{2}; \frac{5+(-1)}{2}) = (-2; 2)$$.

Найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\) = (3 - (-7); -1 - 5) = (10; -6).

Угловой коэффициент прямой AB: $$k_{AB} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = \frac{5}{3}$$.

Уравнение серединного перпендикуляра к AB: $$y - 2 = \frac{5}{3}(x + 2)$$

$$y = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3} + 2$$

$$y = \frac{5}{3}x + \frac{16}{3}$$

2. К стороне BC. Найдем середину отрезка BC: $$M_{BC} = (\frac{3+5}{2}; \frac{-1+3}{2}) = (4; 1)$$.

Найдем вектор \(\overrightarrow{BC}\) = (5 - 3; 3 - (-1)) = (2; 4).

Угловой коэффициент прямой BC: $$k_{BC} = \frac{4}{2} = 2$$.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{2}$$.

Уравнение серединного перпендикуляра к BC: $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 2 + 1$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 3$$

3. К стороне CA. Найдем середину отрезка CA: $$M_{CA} = (\frac{5+(-7)}{2}; \frac{3+5}{2}) = (-1; 4)$$.

Найдем вектор \(\overrightarrow{CA}\) = (-7 - 5; 5 - 3) = (-12; 2).

Угловой коэффициент прямой CA: $$k_{CA} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$$.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CA}} = 6$$.

Уравнение серединного перпендикуляра к CA: $$y - 4 = 6(x + 1)$$

$$y = 6x + 6 + 4$$

$$y = 6x + 10$$

б) Составим уравнения прямых AB, BC и CA.

1. Прямая AB. Известны две точки A(-7; 5) и B(3; -1). $$k_{AB} = \frac{-1 - 5}{3 - (-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$$.

$$y - 5 = -\frac{3}{5}(x + 7)$$

$$y = -\frac{3}{5}x - \frac{21}{5} + 5$$

$$y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}$$

2. Прямая BC. Известны две точки B(3; -1) и C(5; 3). $$k_{BC} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$$.

$$y - (-1) = 2(x - 3)$$

$$y = 2x - 6 - 1$$

$$y = 2x - 7$$

3. Прямая CA. Известны две точки C(5; 3) и A(-7; 5). $$k_{CA} = \frac{5 - 3}{-7 - 5} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$$.

$$y - 3 = -\frac{1}{6}(x - 5)$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{6} + 3$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{23}{6}$$

в) Составим уравнения прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Средняя линия, параллельная стороне CA. Она проходит через середины сторон AB и BC, то есть через точки M_{AB}(-2; 2) и M_{BC}(4; 1). $$k = \frac{1 - 2}{4 - (-2)} = \frac{-1}{6}$$.

$$y - 2 = -\frac{1}{6}(x + 2)$$

$$y = -\frac{1}{6}x - \frac{2}{6} + 2$$

$$y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{3}$$

2. Средняя линия, параллельная стороне AB. Она проходит через середины сторон BC и CA, то есть через точки M_{BC}(4; 1) и M_{CA}(-1; 4). $$k = \frac{4 - 1}{-1 - 4} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$$.

$$y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 4)$$

$$y = -\frac{3}{5}x + \frac{12}{5} + 1$$

$$y = -\frac{3}{5}x + \frac{17}{5}$$

3. Средняя линия, параллельная стороне BC. Она проходит через середины сторон CA и AB, то есть через точки M_{CA}(-1; 4) и M_{AB}(-2; 2). $$k = \frac{2 - 4}{-2 - (-1)} = \frac{-2}{-1} = 2$$.

$$y - 4 = 2(x + 1)$$

$$y = 2x + 2 + 4$$

$$y = 2x + 6$$

Ответ: а) y = (5/3)x + (16/3), y = (-1/2)x + 3, y = 6x + 10; б) y = (-3/5)x + (4/5), y = 2x - 7, y = (-1/6)x + (23/6); в) y = (-1/6)x + (5/3), y = (-3/5)x + (17/5), y = 2x + 6