999 Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?

Пусть заданные вершины параллелограмма A(-4; 4), B(-5; 1), C(-1; 5). Обозначим четвертую вершину D(x; y).

Параллелограмм имеет три возможных варианта расположения вершин: ABCD, ABDC, ACBD.

1. ABCD - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Значит, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равны, а также векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равны:

\(\overrightarrow{AB} = (-5 - (-4); 1 - 4) = (-1; -3)\) \(\overrightarrow{DC} = (-1 - x; 5 - y)\)

Следовательно, \((-1 - x; 5 - y) = (-1; -3)\) \(-1 - x = -1 \Rightarrow x = 0\) \(5 - y = -3 \Rightarrow y = 8\)

D(0; 8)

2. ABDC - параллелограмм. В этом случае векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны:

\(\overrightarrow{CD} = (x - (-1); y - 5) = (x + 1; y - 5)\)

Следовательно, \((x + 1; y - 5) = (-1; -3)\) \(x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2\) \(y - 5 = -3 \Rightarrow y = 2\)

D(-2; 2)

3. ACBD - параллелограмм. В этом случае векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DB}\) равны:

\(\overrightarrow{AC} = (-1 - (-4); 5 - 4) = (3; 1)\) \(\overrightarrow{DB} = (-5 - x; 1 - y)\)

Следовательно, \((-5 - x; 1 - y) = (3; 1)\) \(-5 - x = 3 \Rightarrow x = -8\) \(1 - y = 1 \Rightarrow y = 0\)

D(-8; 0)

Задача имеет три решения.

Ответ: Координаты четвертой вершины: (0; 8), (-2; 2), (-8; 0). Задача имеет 3 решения.