6*. Докажите, что число 154 - 1862 + 1732 - 1342 кратно 39.

Преобразуем выражение:

$$154 - 1862 + 1732 - 1342 = (154 - 1342) + (1732 - 1862)$$

Выполним вычитание:

$$= (154 - 1342) + (1732 - 1862) = (154 - 134)(154 + 134) + (173 - 186)(173 + 186) = 20(154 + 134) + (-13)(173 + 186)$$

Далее упростим:

$$= 20(288) - 13(359) = 5760 - 4667 = 1093$$

Проверим, делится ли 1093 на 39:

$$1093 \div 39 = 28.0256...$$

Однако, выражение можно преобразовать следующим образом, используя разность квадратов:

$$154 - 186^2 + 173^2 - 134^2 = (15^2)^2 - 186^2 + 173^2 - (13 гext{·} 4)^2 = (15^2 - 13^2)(15^2 + 13^2) + (173 - 186)(173 + 186)$$ $$= (225 - 169)(225 + 169) + (-13)(359) = 56(394) - 13(359) = 22064 - 4667 = 17397$$

Проверим, делится ли 17397 на 39:

$$17397 \div 39 = 446.0769$$

Вычисление было произведено неверно, нужно исправить:

$$15^4-186^2+173^2-134^2=(15^4-134^2)+(173^2-186^2)=(15^2-134)(15^2+134)+(173-186)(173+186)=(225-134)(225+134)+(-13)(359)=91*359-13*359=359(91-13)=359*78=359*2*3*13=359*2*3*13$$

Так как в разложении присутствует множитель 13 и множитель 3, то следовательно число кратно 39.

Ответ: число кратно 39, доказано.