240. Докажите, что если \(m \neq n\), \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\), то значение выражения \(\frac{2}{mn} : (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})^{2} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}}\) не зависит от значений переменных.

Докажем, что если \(m
eq n\), \(m
eq 0\) и \(n
eq 0\), то значение выражения \(\frac{2}{mn} : (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})^{2} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}}\) не зависит от значений переменных.

Упростим выражение:

\(\frac{2}{mn} : (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})^{2} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{2}{mn} : (\frac{n-m}{mn})^{2} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{2}{mn} : \frac{(n-m)^{2}}{m^{2}n^{2}} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^{2}n^{2}}{(n-m)^{2}} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{2mn}{(n-m)^{2}} - \frac{m^{2} + n^{2}}{(m-n)^{2}} = \frac{2mn - (m^{2} + n^{2})}{(n-m)^{2}} = \frac{2mn - m^{2} - n^{2}}{(n-m)^{2}} = \frac{-(m^{2} - 2mn + n^{2})}{(n-m)^{2}} = \frac{-(m-n)^{2}}{(n-m)^{2}} = \frac{-(m-n)^{2}}{(-1)^{2}(m-n)^{2}} = \frac{-(m-n)^{2}}{(m-n)^{2}} = -1\)

Значение выражения равно -1, что не зависит от значений переменных m и n.

Ответ: Выражение не зависит от значений переменных.