242. Докажите, что при любом значении \(x\), большем 2, значение выражения \((\frac{x + 1}{2x} + \frac{4}{x + 3} - 2) : \frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x}\) является отрицательным числом.

Докажем, что при любом значении x, большем 2, значение выражения \((\frac{x + 1}{2x} + \frac{4}{x + 3} - 2) : \frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x}\) является отрицательным числом.

Упростим выражение:

\((\frac{x + 1}{2x} + \frac{4}{x + 3} - 2) : \frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x} = (\frac{(x + 1)(x + 3) + 4(2x) - 2(2x)(x + 3)}{2x(x + 3)}) : \frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x} = (\frac{x^{2} + 4x + 3 + 8x - 4x^{2} - 12x}{2x(x + 3)}) : \frac{x + 1}{x + 3} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x} = \frac{-3x^{2} + 12x + 3}{2x(x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 1} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x} = \frac{-3x^{2} + 12x + 3}{2x(x + 1)} - \frac{x^{2} - 5x + 3}{2x} = \frac{-3x^{2} + 12x + 3 - (x^{2} - 5x + 3)(x + 1)}{2x(x + 1)} = \frac{-3x^{2} + 12x + 3 - (x^{3} - 5x^{2} + 3x + x^{2} - 5x + 3)}{2x(x + 1)} = \frac{-3x^{2} + 12x + 3 - x^{3} + 5x^{2} - 3x - x^{2} + 5x - 3}{2x(x + 1)} = \frac{-x^{3} + x^{2} + 14x}{2x(x + 1)} = \frac{x(-x^{2} + x + 14)}{2x(x + 1)} = \frac{-x^{2} + x + 14}{2(x + 1)}\\)

Исследуем знак выражения при \(x > 2\):

Т.к. \(x>2\), то \(2(x+1) > 0\). Рассмотрим числитель: \(-x^{2} + x + 14\)

Вычислим корни квадратного уравнения: \(-x^{2} + x + 14 = 0\)

\(D = 1^{2} - 4(-1)(14) = 1 + 56 = 57\)
\(x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{57}}{-2} = \frac{1 - \sqrt{57}}{2} \approx -3.27\)
\(x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{57}}{-2} = \frac{1 + \sqrt{57}}{2} \approx 4.27\)

Т.к. парабола направлена ветвями вниз, то между корнями функция положительна, а за корнями - отрицательна. Т.к. \(x > 2\), то при \(2 < x < 4.27\) числитель положителен, а при \(x > 4.27\) числитель отрицателен. Следовательно, значение выражения является отрицательным числом не для всех значений x, большем 2.

Ответ: Выражение не является отрицательным числом при любом значении x.