243. Упростите выражение: a) \(ab + \frac{ab}{a + b} : \frac{a - b}{a + b} - a - b\); б) \(\frac{y^{2} - xy}{x^{2} + xy} \cdot \frac{x + y}{x - y} + \frac{y}{x + y}\); в) \((\frac{1}{(2a - b)^{2}} + \frac{2}{4a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{(2a + b)^{2}}) \cdot \frac{4a^{2} + 4ab + b^{2}}{16a}\); г) \(\frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{1}{(c + 2)^{2}} + \frac{1}{(c^{2} - 4)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}})\)

a) Упростим выражение: \(ab + \frac{ab}{a + b} : \frac{a - b}{a + b} - a - b\)

\(ab + \frac{ab}{a + b} : \frac{a - b}{a + b} - a - b = ab + \frac{ab}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} - a - b = ab + \frac{ab}{a - b} - a - b = \frac{ab(a - b) + ab - (a + b)(a - b)}{a - b} = \frac{a^{2}b - ab^{2} + ab - (a^{2} - b^{2})}{a - b} = \frac{a^{2}b - ab^{2} + ab - a^{2} + b^{2}}{a - b}\\)

б) Упростим выражение: \(\frac{y^{2} - xy}{x^{2} + xy} \cdot \frac{x + y}{x - y} + \frac{y}{x + y}\)

\(\frac{y^{2} - xy}{x^{2} + xy} \cdot \frac{x + y}{x - y} + \frac{y}{x + y} = \frac{y(y - x)}{x(x + y)} \cdot \frac{x + y}{x - y} + \frac{y}{x + y} = \frac{-y(x - y)}{x(x + y)} \cdot \frac{x + y}{x - y} + \frac{y}{x + y} = -\frac{y}{x} + \frac{y}{x + y} = \frac{-y(x + y) + yx}{x(x + y)} = \frac{-yx - y^{2} + yx}{x(x + y)} = \frac{-y^{2}}{x(x + y)}\)

в) Упростим выражение: \((\frac{1}{(2a - b)^{2}} + \frac{2}{4a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{(2a + b)^{2}}) \cdot \frac{4a^{2} + 4ab + b^{2}}{16a}\)

\((\frac{1}{(2a - b)^{2}} + \frac{2}{4a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{(2a + b)^{2}}) \cdot \frac{4a^{2} + 4ab + b^{2}}{16a} = (\frac{1}{(2a - b)^{2}} + \frac{2}{(2a - b)(2a + b)} + \frac{1}{(2a + b)^{2}}) \cdot \frac{(2a + b)^{2}}{16a} = (\frac{(2a + b)^{2} + 2(2a - b)(2a + b) + (2a - b)^{2}}{(2a - b)^{2}(2a + b)^{2}}) \cdot \frac{(2a + b)^{2}}{16a} = \frac{4a^{2} + 4ab + b^{2} + 2(4a^{2} - b^{2}) + 4a^{2} - 4ab + b^{2}}{(2a - b)^{2}(2a + b)^{2}} \cdot \frac{(2a + b)^{2}}{16a} = \frac{4a^{2} + 4ab + b^{2} + 8a^{2} - 2b^{2} + 4a^{2} - 4ab + b^{2}}{(2a - b)^{2}(2a + b)^{2}} \cdot \frac{(2a + b)^{2}}{16a} = \frac{16a^{2}}{(2a - b)^{2}(2a + b)^{2}} \cdot \frac{(2a + b)^{2}}{16a} = \frac{a}{(2a - b)^{2}}\\)

г) Упростим выражение: \(\frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{1}{(c + 2)^{2}} + \frac{1}{(c^{2} - 4)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}})\)

\(\frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{1}{(c + 2)^{2}} + \frac{1}{(c^{2} - 4)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}}) = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{1}{(c + 2)^{2}} + \frac{1}{(c - 2)^{2}(c + 2)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}}) = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{(c - 2)^{2} + 1}{(c - 2)^{2}(c + 2)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}}) = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : (\frac{(c - 2)^{2} + 1}{(c - 2)^{2}(c + 2)^{2}} + \frac{2}{(c - 2)^{4}}) = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{((c - 2)^{2} + 1)(c - 2)^{2} + 2(c + 2)^{2}}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}} = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{(c^{2} - 4c + 4 + 1)(c - 2)^{2} + 2(c^{2} + 4c + 4)}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}} = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{(c^{2} - 4c + 5)(c^{2} - 4c + 4) + 2c^{2} + 8c + 8}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}} = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{c^{4} - 4c^{3} + 4c^{2} - 4c^{3} + 16c^{2} - 16c + 5c^{2} - 20c + 20 + 2c^{2} + 8c + 8}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}} = \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{c^{4} - 8c^{3} + 27c^{2} - 28c + 28}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}}\\)

Ответ: a) \(\frac{a^{2}b - ab^{2} + ab - a^{2} + b^{2}}{a - b}\); б) \(\frac{-y^{2}}{x(x + y)}\); в) \(\frac{a}{(2a - b)^{2}}\) ; г) \(\frac{4c^{2}}{(c - 2)^{4}} : \frac{c^{4} - 8c^{3} + 27c^{2} - 28c + 28}{(c - 2)^{4}(c + 2)^{2}}\)