241. Докажите, что при любом целом \(a\) и дробном \(x\) значение выражения \(\left(\frac{a}{a + x} - \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} + ax} \right) : \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right)\) является чётным числом.

Докажем, что при любом целом a и дробном x значение выражения \(\left(\frac{a}{a + x} - \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} + ax} \right) : \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right)\) является чётным числом.

Упростим выражение:

\(\left(\frac{a}{a + x} - \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} + ax} \right) : \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right) = \left(\frac{a}{a + x} - \frac{a^{2} + x^{2}}{a(a + x)} \right) : \left(\frac{2a(a-x) + 4ax}{x(a - x)}\right) = \left(\frac{a^{2} - a^{2} - x^{2}}{a(a + x)} \right) : \left(\frac{2a^{2}-2ax + 4ax}{x(a - x)}\right) = \frac{-x^{2}}{a(a + x)} : \frac{2a^{2}+2ax}{x(a - x)} = \frac{-x^{2}}{a(a + x)} : \frac{2a(a+x)}{x(a - x)} = \frac{-x^{2}}{a(a + x)} \cdot \frac{x(a - x)}{2a(a+x)} = \frac{-x^{3}(a - x)}{2a^{2}(a + x)^{2}} = \frac{x^{3}(x-a)}{2a^{2}(a + x)^{2}}\\)

Т.к. x - дробное число, а a - целое, то при делении выражения на 2 четное число не получится.

Ответ: Выражение не является четным числом.