138 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC биссектриса BD является также и высотой.

То есть, BD - биссектриса угла B, следовательно, ∠ABD = ∠CBD.

BD - высота, следовательно, BD ⊥ AC и ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

BD - общая сторона.

∠ABD = ∠CBD (по условию, BD - биссектриса).

∠ADB = ∠CDB = 90° (по условию, BD - высота).

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AB = CB.

Тогда треугольник ABC - равнобедренный, так как две его стороны равны.

Ответ: треугольник - равнобедренный.