137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN – равнобедренный.

Доказательство:

Пусть дан угол A, биссектриса угла A, и прямая, перпендикулярная этой биссектрисе, пересекающая стороны угла A в точках M и N.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла A и прямой MN как O.

Тогда, по условию, ∠MOA = 90°.

Рассмотрим треугольники AOM и AON.

AO - общая сторона.

∠MAO = ∠NAO (так как AO - биссектриса угла A).

∠AOM = ∠AON = 90° (по условию).

Следовательно, треугольники AOM и AON равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AM = AN.

Тогда треугольник AMN - равнобедренный, так как две его стороны равны.

Ответ: Треугольник AMN – равнобедренный.