135 В треугольниках АВС и А1В1С1 отрезки СО и С101 – ме- дианы, ВС = B₁C1, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что: a) △ACO = ∆A₁C1O1; б) △BCO = ∆B1C1O1.

а) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

Дано: CO и C₁O₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

Доказать: △ACO = △A₁C₁O₁.

Решение:

Так как BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, то △ABC = △A₁B₁C₁ (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.

Так как CO и C₁O₁ — медианы, то AO = 1/2 * AC и A₁O₁ = 1/2 * A₁C₁.

Следовательно, AO = A₁O₁.

Тогда △ACO = △A₁C₁O₁ (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними): AC = A₁C₁, AO = A₁O₁, ∠A = ∠A₁.

б) Рассмотрим треугольники BCO и B₁C₁O₁.

Доказать: △BCO = △B₁C₁O₁.

Решение:

BC = B₁C₁ (по условию), ∠B = ∠B₁ (по условию).

Так как CO и C₁O₁ — медианы, то BO = 1/2 * BC и B₁O₁ = 1/2 * B₁C₁.

Следовательно, BO = B₁O₁.

Тогда △BCO = △B₁C₁O₁ (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними): BC = B₁C₁, BO = B₁O₁, ∠B = ∠B₁.

Ответ: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.