Докажите, что если коэффициент пропорциональности функции f(x) = k/x положителен, то для x1 < x2 < 0 справедливо неравенство f(x1) > f(x2).

Решение:

Дана функция вида f(x) = k/x, где k > 0.

Нам нужно доказать, что для x₁ < x₂ < 0 выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

Рассмотрим разность f(x₁) - f(x₂):

\[ f(x_1) - f(x_2) = \frac{k}{x_1} - \frac{k}{x_2} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ f(x_1) - f(x_2) = \frac{k x_2 - k x_1}{x_1 x_2} = \frac{k(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} \]

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя, исходя из условий:

• Числитель: k(x₂ - x₁). Так как k > 0 и x₁ < x₂, то (x₂ - x₁) > 0. Следовательно, числитель положителен.
• Знаменатель: x₁ x₂. Так как x₁ < 0 и x₂ < 0 (по условию x₁ < x₂ < 0), то произведение двух отрицательных чисел x₁ x₂ будет положительным.

Таким образом, числитель положителен, а знаменатель положителен. Следовательно, вся дробь положительна:

\[ f(x_1) - f(x_2) = \frac{(+)}{(+)} > 0 \]

Из того, что f(x₁) - f(x₂) > 0, следует, что f(x₁) > f(x₂).

Вывод: Если коэффициент пропорциональности функции f(x) = k/x положителен (k > 0), то для x₁ < x₂ < 0 справедливо неравенство f(x₁) > f(x₂). Это означает, что на интервале (-∞; 0) функция убывает.