115 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC медиана BD является также и высотой. Это означает, что BD перпендикулярна AC и делит AC пополам, то есть AD = DC. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них BD - общая сторона, AD = DC (по условию), и углы ADB и CDB прямые (так как BD - высота). Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = BC. Это означает, что треугольник ABC - равнобедренный, так как у него две стороны равны. Что и требовалось доказать.