Докажите, что если последовательность b₁, b₂, ..., bₙ, ... образует геометрическую прогрессию, то и последовательность b₁⁴, b₂⁴, ..., bₙ⁴, ... также образует геометрическую прогрессию.

Ответ: Доказано.

Доказательство:

Пусть дана геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, ..., b_n, ...\), тогда для любого \(n\) выполняется условие:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = q\]

где \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.

Рассмотрим новую последовательность \(b_1^4, b_2^4, ..., b_n^4, ...\). Нужно доказать, что она тоже является геометрической прогрессией. Для этого проверим отношение соседних членов:

\[\frac{b_{n+1}^4}{b_n^4} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^4 = q^4\]

Так как \(q\) — константа, то \(q^4\) — тоже константа. Значит, отношение соседних членов последовательности \(b_1^4, b_2^4, ..., b_n^4, ...\) постоянно, и эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \(q^4\).

Ответ: Доказано.