Докажите, что если в трёхзначном числе средняя цифра равна полусумме крайних, то число кратно 11.

Пусть цифры трёхзначного числа — \(a\), \(b\), \(c\), причём средняя цифра равна полусумме крайних:

\(b=\frac{a+c}{2}\), поэтому \(a+c=2b\).

Число имеет вид \(100a+10b+c\). Представим его так:

\(100a+10b+c=99a+11b+(a-b+c)=11(9a+b)\), так как \(a+c=2b\), то \(a-b+c=b\).

Следовательно, число делится на 11.

Ответ: число кратно 11.