11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 90°. Тогда угол C равен 60°. Отложим на гипотенузе AC отрезок AD, равный AB. Получим треугольник ABD, в котором угол A равен 30°, угол B равен 30°, следовательно, треугольник ABD равнобедренный. Тогда угол ADB равен 120°, а угол BDC равен 60°. В треугольнике BDC угол C равен 60°, угол BDC равен 60°, следовательно, угол DBC также равен 60°, и треугольник BDC равносторонний. Значит, BC = DC = BD = AB. Так как AD = AB, то AC = AD + DC = AB + BC = BC + BC = 2BC, следовательно, BC = AC/2. Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен половине гипотенузы AC. Отложим на гипотенузе AC отрезок AD, равный AB. Получим треугольник ABD, в котором AD = AB, следовательно, треугольник ABD равнобедренный. Тогда BD перпендикулярно AC и BC = AC/2 = DC. Следовательно, треугольник BDC равносторонний и углы BDC, DBC и BCD равны 60°. Тогда угол ACB равен 60°, а угол BAC равен 30°.