9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, что AB < AC + BC. Отложим на продолжении стороны AC отрезок CD, равный BC. Тогда в треугольнике BCD угол CBD равен углу CDB как углы при основании равнобедренного треугольника. Угол ABD больше угла CBD, следовательно, он больше угла CDB. В треугольнике ABD против большего угла лежит большая сторона, то есть AD > AB. Так как AD = AC + CD = AC + BC, то AC + BC > AB, что и требовалось доказать. Неравенство треугольника гласит: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Это условие должно выполняться для любых трех сторон, чтобы можно было построить треугольник.