575. Докажите, что многочлен х²+ и² + 1 при любых значения принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$, рассмотрим каждый член в отдельности.

1. Член $$x^2$$: Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. То есть, для любого $$x$$ выполняется $$x^2 \geq 0$$.

2. Член $$y^2$$: Аналогично, квадрат любого действительного числа $$y$$ также неотрицателен. То есть, для любого $$y$$ выполняется $$y^2 \geq 0$$.

3. Постоянный член $$1$$: Число 1 является положительным, то есть $$1 > 0$$.

Сумма неотрицательных чисел $$x^2$$ и $$y^2$$ также неотрицательна, то есть $$x^2 + y^2 \geq 0$$.

Теперь добавим к этой сумме число 1: $$(x^2 + y^2) + 1 \geq 0 + 1$$, следовательно, $$x^2 + y^2 + 1 \geq 1$$.

Поскольку $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда больше или равно 1, то многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает только положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ: Многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$, что и требовалось доказать.