591. Докажите, что многочлен х²+ и² + 1 при любых значениях и у принимает положительные значения.

Докажем, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю:

$$x^2 \ge 0$$ для любого $$x$$.

$$y^2 \ge 0$$ для любого $$y$$.

Следовательно, сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:

$$x^2 + y^2 \ge 0$$.

Тогда, прибавив 1 к неотрицательной сумме, получим:

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$$

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$$

Так как $$x^2 + y^2 + 1$$ больше или равно 1, то при любых значениях $$x$$ и $$y$$ многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Доказано, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ при любых значениях x и y принимает положительные значения.