Докажите, что многочлен x² - 4x + y² - 6y + 15 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

Преобразуем многочлен, выделив полные квадраты: x² - 4x + y² - 6y + 15 = (x² - 4x + 4) + (y² - 6y + 9) + 15 - 4 - 9 = (x - 2)² + (y - 3)² + 2 Так как (x - 2)² >= 0 и (y - 3)² >= 0 для любых x и y, то (x - 2)² + (y - 3)² + 2 >= 2 > 0. Следовательно, многочлен x² - 4x + y² - 6y + 15 всегда принимает положительные значения. **Доказано.**