591. Докажите, что многочлен x² + y² + 1 при любых зна и у принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен x² + y² + 1 принимает положительные значения при любых значениях x и y, нужно показать, что x² + y² + 1 > 0 для всех x и y.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть x² ≥ 0 и y² ≥ 0 для любых x и y. Следовательно, x² + y² ≥ 0. Прибавим 1 к обеим частям неравенства: x² + y² + 1 ≥ 0 + 1 x² + y² + 1 ≥ 1. Так как 1 > 0, то x² + y² + 1 > 0 для любых x и y. Таким образом, многочлен x² + y² + 1 всегда принимает положительные значения.

Ответ: Доказано, что многочлен x² + y² + 1 принимает положительные значения при любых значениях x и y.