650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.

Пусть даны подобные треугольники ABC и A₁B₁C₁. Обозначим сходственные стороны как AB и A₁B₁, а высоты, проведенные к этим сторонам, как h и h₁ соответственно. По определению подобия треугольников, отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия k, то есть:

$$\frac{AB}{A_1B_1} = k$$

Площадь треугольника ABC можно выразить как S = (1/2) * AB * h, а площадь треугольника A₁B₁C₁ как S₁ = (1/2) * A₁B₁ * h₁. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S}{S_1} = k^2$$

Подставим выражения для площадей:

$$\frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot h_1} = k^2$$

$$\frac{AB \cdot h}{A_1B_1 \cdot h_1} = k^2$$

Мы знаем, что $$\frac{AB}{A_1B_1} = k$$, поэтому можем заменить AB на k * A₁B₁:

$$\frac{k \cdot A_1B_1 \cdot h}{A_1B_1 \cdot h_1} = k^2$$

Сократим A₁B₁:

$$\frac{k \cdot h}{h_1} = k^2$$

Разделим обе части на k:

$$\frac{h}{h_1} = k$$

Итак, отношение высот равно коэффициенту подобия k, который также является отношением сходственных сторон:

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{h}{h_1} = k$$

Таким образом, отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано