489 Докажите, что площадь равностороннего треугольника выч ляется по формуле $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ – сторона треугольни

Доказательство: 1. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a. Проведем высоту h к основанию. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Обозначим половину основания как a/2. 2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной, можем найти высоту h по теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ 3. Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$. В нашем случае основание равно a, а высота h = $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Таким образом, площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где a - сторона треугольника. Ответ: Площадь равностороннего треугольника равна $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, что и требовалось доказать.