Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2 + px + 1 = 0$$ имеет два корня.

Решение:

Для того чтобы квадратное уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ имело два корня, его дискриминант ($$D$$) должен быть строго больше нуля ($$D > 0$$).

В данном уравнении $$x^2 + px + 1 = 0$$ имеем:

• $$a = 1$$
• $$b = p$$
• $$c = 1$$

Вычислим дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac $$

$$ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 $$

$$ D = p^2 - 4 $$

Анализ дискриминанта:

Уравнение будет иметь два корня, если $$D > 0$$, то есть:

$$ p^2 - 4 > 0 $$

$$ p^2 > 4 $$

Это неравенство выполняется, когда $$p < -2$$ или $$p > 2$$.

Вывод:

Утверждение, что уравнение имеет два корня при любом значении $$p$$, неверно. Уравнение имеет два корня только при $$p < -2$$ или $$p > 2$$.

Если $$p = -2$$ или $$p = 2$$, то $$D = 0$$, и уравнение имеет один корень.

Если $$-2 < p < 2$$, то $$D < 0$$, и уравнение не имеет действительных корней.