При каких значениях переменной $$x$$ имеет смысл выражение $$\frac{x-8}{3x^2-10x+3}$$?

Решение:

1. Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.
   $$ 3x^2 - 10x + 3
   eq 0 $$
2. Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$
   Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$
   $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$
   $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6} $$
3. Найдем значения $$x$$:
   $$ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$
   $$ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
4. Значит, выражение имеет смысл при всех $$x$$, кроме $$x=3$$ и $$x=\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$x
eq 3$$ и $$x
eq \frac{1}{3}$$