Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй — 144 детали. Первый рабочий изготавливал на 4 детали в час больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?

Задание 6: Задача на производительность труда

Дано:

• Детали первого рабочего: \( D_1 = 120 \)
• Детали второго рабочего: \( D_2 = 144 \)
• Производительность первого рабочего на 4 больше, чем второго: \( V_1 = V_2 + 4 \)
• Время работы первого рабочего на 3 часа меньше, чем второго: \( T_1 = T_2 - 3 \)

Найти: производительность каждого рабочего \( V_1 \) и \( V_2 \).

Решение:

1. Вспомним формулу: \( \text{Детали} = \text{Производительность} \times \text{Время} \) ( \( D = V \times T \) ).
2. Выразим время работы каждого рабочего:
• $$ T_1 = \frac{D_1}{V_1} = \frac{120}{V_1} $$
• $$ T_2 = \frac{D_2}{V_2} = \frac{144}{V_2} $$
3. Подставим выражения для времени в условие \( T_1 = T_2 - 3 \):
• $$ \frac{120}{V_1} = \frac{144}{V_2} - 3 $$
4. Заменим \( V_1 \) на \( V_2 + 4 \):
• $$ \frac{120}{V_2 + 4} = \frac{144}{V_2} - 3 $$
5. Приведем к общему знаменателю \( V_2(V_2 + 4) \):
• $$ \frac{120V_2}{(V_2 + 4)V_2} = \frac{144(V_2 + 4)}{V_2(V_2 + 4)} - \frac{3V_2(V_2 + 4)}{V_2(V_2 + 4)} $$
• $$ 120V_2 = 144V_2 + 576 - 3V_2^2 - 12V_2 $$
• $$ 120V_2 = 132V_2 + 576 - 3V_2^2 $$
6. Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:
• $$ 3V_2^2 + 120V_2 - 132V_2 - 576 = 0 $$
• $$ 3V_2^2 - 12V_2 - 576 = 0 $$
• Разделим на 3:
• $$ V_2^2 - 4V_2 - 192 = 0 $$
7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
• \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \)
• $$ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 $$
8. Найдем \( V_2 \):
• $$ V_2 = \frac{4 \pm 28}{2} $$
• Так как производительность не может быть отрицательной, берем положительный корень:
• $$ V_2 = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$ деталей/час.
9. Теперь найдем \( V_1 \):
• $$ V_1 = V_2 + 4 = 16 + 4 = 20 $$ деталей/час.

Проверка:

• Время первого рабочего: \( T_1 = \frac{120}{20} = 6 \) часов.
• Время второго рабочего: \( T_2 = \frac{144}{16} = 9 \) часов.
• Разница во времени: \( T_2 - T_1 = 9 - 6 = 3 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: Первый рабочий изготавливал 20 деталей в час, второй — 16 деталей в час.