Докажите, что при любом значении p уравнение x² + px + p - 4 = 0 имеет два корня.

8. Доказательство наличия двух корней у квадратного уравнения

1. Квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нуля.
2. Дано уравнение: \(x^2 + px + p - 4 = 0\)
3. Определим коэффициенты:
   • \(a = 1\)
   • \(b = p\)
   • \(c = p - 4\)
4. Найдем дискриминант:
   • \(D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \times 1 \times (p - 4)\)
   • \(D = p^2 - 4p + 16\)
5. Исследуем дискриминант \(D = p^2 - 4p + 16\). Это квадратный трехчлен относительно \(p\). Найдем его дискриминант (обозначим \(D_p\), чтобы не путать с \(D\) основного уравнения):
   • \(D_p = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 16 - 64 = -48\)
6. Поскольку дискриминант \(D_p\) отрицательный (\(D_p < 0\)), а коэффициент при \(p^2\) положительный (равен 1), то квадратный трехчлен \(p^2 - 4p + 16\) всегда больше нуля для любого значения \(p\).
7. Таким образом, \(D > 0\) для любого \(p\).
8. Следовательно, уравнение \(x^2 + px + p - 4 = 0\) имеет два различных действительных корня при любом значении \(p\).

Ответ: Дискриминант уравнения \(D = p^2 - 4p + 16\) всегда положителен, что гарантирует наличие двух различных действительных корней.