При каких значениях переменной имеет смысл выражение \(\frac{x-8}{3x^2 - 10x + 3}\)?

4. Определение области допустимых значений

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^2 - 10x + 3\).
2. Используем дискриминант:
   • \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 100 - 36 = 64\)
   • \(\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8\)
3. Найдем корни:
   • \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
   • \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2 \times 3} = \frac{18}{6} = 3\)
4. Знаменатель обращается в ноль при \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 3\). Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях \(x\), кроме \(\frac{1}{3}\) и \(3\).

Ответ: \(x
eq \frac{1}{3}\) и \(x
eq 3\)