При каких значениях переменной имеет смысл выражение $$\frac{x-8}{3x^2-10x+3}$$?

Задание 4: Определение области допустимых значений переменной

Выражение имеет смысл, когда знаменатель дроби не равен нулю.

Решение:

1. Найдем значения $$x$$, при которых знаменатель $$3x^2 - 10x + 3$$ равен нулю. Для этого решим квадратное уравнение:
• $$ 3x^2 - 10x + 3 = 0 $$
2. Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
• \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \)
3. Найдем корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
• $$ x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$
• $$ x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Знаменатель равен нулю при $$x=3$$ и $$x=\frac{1}{3}$$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$, кроме этих.

Ответ: $$x \neq 3$$ и $$x \neq \frac{1}{3}$$