51. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до па- раллельной прямой равны.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и две точки A и B на прямой a. Нужно доказать, что расстояния от точек A и B до прямой b равны.

Опустим перпендикуляры из точек A и B на прямую b. Пусть A₁ и B₁ — основания этих перпендикуляров. Тогда AA₁ и BB₁ — расстояния от точек A и B до прямой b соответственно. Рассмотрим четырёхугольник AA₁B₁B.

Так как AA₁ ⊥ b и BB₁ ⊥ b, то AA₁ || BB₁.

Поскольку a || b, а AA₁ и BB₁ являются перпендикулярами к b, углы AA₁B₁ и BB₁A прямые. Четырехугольник AA₁B₁B является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, AA₁ = BB₁.

Значит, расстояния от точек A и B до прямой b равны.

Ответ: Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.