49. Прямая а пересекает отрезок ВС в середине. Докажите, что точ- ки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.

Пусть дан отрезок BC, прямая a пересекает его в середине в точке D. Требуется доказать, что расстояние от точек B и C до прямой a одинаково.

Опустим перпендикуляры из точек B и C на прямую a. Пусть B₁ — основание перпендикуляра из B, а C₁ — основание перпендикуляра из C. Рассмотрим треугольники BDB₁ и CDC₁.

BD = DC (так как D — середина BC).

∠BDB₁ = ∠CDC₁ (вертикальные углы).

∠DB₁B = ∠DCC₁ = 90° (по построению).

Таким образом, треугольники BDB₁ и CDC₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Следовательно, BB₁ = CC₁ (как соответственные элементы равных треугольников), а BB₁ и CC₁ — расстояния от точек B и C до прямой a соответственно.

Ответ: Расстояния от точек B и C до прямой a равны.