50. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от то- чек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О являет- ся серединой отрезка ВС.

Пусть дан отрезок BC, прямая a пересекает его в точке O. Расстояние от точки B до прямой a равно расстоянию от точки C до прямой a. Обозначим основания перпендикуляров из B и C на прямую a как B₁ и C₁ соответственно, тогда BB₁ = CC₁.

Рассмотрим треугольники OBB₁ и OCC₁.

BB₁ = CC₁ (по условию).

∠B₁OB = ∠C₁OC (вертикальные углы).

∠OB₁B = ∠OC₁C = 90° (по построению).

Следовательно, треугольники OBB₁ и OCC₁ равны по катету и противолежащему углу.

Из равенства треугольников следует, что BO = OC.

Так как BO = OC, точка O является серединой отрезка BC.

Ответ: Точка O является серединой отрезка BC.