Докажите, что средняя линия DE треугольника ABC (точки D и E принадлежат сторонам AB и BC соответственно) и его медиана, проведённая к стороне AC, точкой пересечения делятся пополам.

Поскольку DE — средняя линия, D и E — середины AB и BC, а DE ∥ AC. Пусть медиана из B пересекает DE в точке P и AC в точке M. Тогда M — середина AC.

1. Рассмотрим треугольники BDP и BAM. У них ∠DBP = ∠ABM, а ∠BDP = ∠BAM, поскольку BD лежит на BA и DP ∥ AM. Следовательно, треугольники подобны.
2. Так как BD = BA / 2, коэффициент подобия малого треугольника к большому равен 1 / 2.
3. Поэтому BP = BM / 2, то есть P — середина BM.
4. Кроме того, DE = AC / 2 и, по подобию, DP = AM / 2. Так как DE параллельна AC и P лежит на DE, из равенства DP = DE / 2 следует, что DP = PE.

Значит, точка пересечения P делит пополам и среднюю линию DE, и медиану BM.

Доказано.