2. Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и медианы, проведённой к гипотенузе, равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой, и рассматриваем угол A. Пусть AL - биссектриса угла A, и CM - медиана, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. Пусть точка O - точка пересечения AL и CM. Нужно доказать, что точка O равноудалена от гипотенузы AB и катета AC. 1. Так как CM - медиана, проведенная из прямого угла, то AM = MB = CM. Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, и углы MAC и MCA равны. 2. Угол MAC = углу MCA = \( α \). 3. AL - биссектриса угла A, следовательно, угол CAL = углу BAL = \( α/2 \). 4. Рассмотрим треугольник AOC. Угол CAO = \( α/2 \), угол ACO = \( α \). Следовательно, угол AOC = 180° - (\( α/2 + α \)) = 180° - (3\( α/2 \)). 5. Проведем перпендикуляры от точки O к AC и AB, обозначим их как OX и OY соответственно. Нужно доказать, что OX = OY. 6. Так как AL - биссектриса угла A, любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла. Следовательно, OY = OX. Таким образом, точка пересечения биссектрисы острого угла и медианы, проведенной к гипотенузе, равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу.