5. В прямоугольном треугольнике с углом 30° расстояние от основания высоты, проведённой к гипотенузе, до середины гипотенузы равно 2. Найдите длину одного из катетов и длину гипотенузы.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой, угол A = 30°. Проведем высоту CH к гипотенузе AB. Пусть M - середина гипотенузы AB. Дано, что HM = 2. 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, AM = MB = CM. Значит, CM = AB/2. 2. Рассмотрим треугольник CHM. В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 90° - 30° = 60°. 3. В треугольнике CMB, CM = MB, следовательно, треугольник CMB равнобедренный, и угол MCB = углу B = 60°. Значит, треугольник CMB - равносторонний, и CM = MB = CB. 4. Угол HCB = 90° - угол B = 90° - 60° = 30°. Тогда угол HCM = угол MCB - угол HCB = 60° - 30° = 30°. 5. В прямоугольном треугольнике CHM, HM = 2, угол HCM = 30°. Тогда CM = HM / cos(30°) = 2 / (√3/2) = 4/√3 = (4√3)/3. 6. Так как CM = AB/2, то AB = 2 * CM = 2 * (4√3)/3 = (8√3)/3. 7. Так как CB = CM, то CB = (4√3)/3. 8. Найдем катет AC: AC = AB * cos(30°) = ((8√3)/3) * (√3/2) = (8 * 3) / (3 * 2) = 4. Ответ: Длина катета AC равна 4, длина катета CB равна (4√3)/3, длина гипотенузы AB равна (8√3)/3.