4. Два прямоугольных треугольника KLM и NLM расположены на плоскости так, что вершины прямых углов K и N находятся в одной полуплоскости относительно прямой LM. Точки K, N и середину P стороны LM соединили отрезками. Определите вид треугольника KNP и найдите его углы, если ∠KLM = 24°, a ∠NLM = 32°.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике KLM, угол KLM = 24°. Значит, угол LKM = 90° - 24° = 66°. 2. В прямоугольном треугольнике NLM, угол NLM = 32°. Значит, угол LNM = 90° - 32° = 58°. 3. Так как P - середина LM, то LP = PM. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, в треугольнике KLM KP = LP = PM, а в треугольнике NLM NP = LP = PM. 4. Значит, KP = LP и NP = LP. Следовательно, KP = NP, и треугольник KNP - равнобедренный. 5. В треугольнике KLP, KP = LP, значит, треугольник KLP равнобедренный, и угол LKP = углу PLK = 24°. Тогда угол KPL = 180° - 24° - 24° = 132°. 6. В треугольнике NLP, NP = LP, значит, треугольник NLP равнобедренный, и угол PNL = углу PLN = 32°. Тогда угол LPN = 180° - 32° - 32° = 116°. 7. Угол KPN = 360° - угол KPL - угол LPN = 360° - 132° - 116° = 112°. 8. В равнобедренном треугольнике KNP, угол NKP = углу KNP = (180° - 112°)/2 = 68°/2 = 34°. Ответ: Треугольник KNP - равнобедренный, его углы: ∠KPN = 112°, ∠NKP = 34°, ∠KNP = 34°.