5. Докажите, что треугольник, высота которого совпадает с его медианой, является равнобедренным.

Пусть дан треугольник ABC, в котором высота BH является также и медианой. Это означает, что BH перпендикулярна AC и AH = HC. Нужно доказать, что треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC.

Рассмотрим треугольники ABH и CBH:

1. AH = HC (по условию, BH - медиана).
2. BH - общая сторона.
3. ∠AHB = ∠CHB = 90° (по условию, BH - высота).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABH и CBH равны. Следовательно, AB = BC как соответствующие стороны равных треугольников.

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным.