7. Внутри равнобедренного треугольника АВМ с основанием АМ поставили точку Р так, что она находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника АВМ. Найди все углы треугольника АВМ, если ∠PMA = 20°, ∠ABP = 35°.

Так как точка P находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника ABM, она является центром описанной окружности этого треугольника. Тогда AP = BP = MP.

Рассмотрим треугольник APM. Так как AP = MP, он равнобедренный, следовательно, ∠PAM = ∠PMA = 20°. Тогда ∠APM = 180° - 20° - 20° = 140°.

В равнобедренном треугольнике ABM углы при основании AM равны: ∠BAM = ∠BMA. ∠BAM = ∠PAM + ∠BAP = 20° + ∠BAP. ∠BMA = ∠PMA + ∠BMP = 20° + ∠BMP.

Следовательно, 20° + ∠BAP = 20° + ∠BMP, то есть ∠BAP = ∠BMP.

Рассмотрим треугольник ABP. Так как AP = BP, он равнобедренный, следовательно, ∠BAP = ∠ABP = 35°.

Тогда ∠B = ∠ABP + ∠MBP. Так как треугольник ABM равнобедренный ∠BAM = ∠BMA, ∠BMA = 35+20=55. Треугольник равнобедренный, поэтому ∠ВАM=∠BMA=55.

Угол ∠ABM=180-55-55=70.

Ответ: ∠BAM = 55°, ∠BMA = 55°, ∠ABM = 70°.