238 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, со- единяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Возьмем произвольную точку D на основании AC и соединим ее с вершиной B. Нужно доказать, что BD < AB, где AB – боковая сторона.

1. Если D совпадает с точкой A или C, то BD совпадает с боковой стороной, и утверждение очевидно.

2. Если D не совпадает с A или C, то рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике:

• ∠BAD = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
• ∠BDA > ∠BAD (внешний угол треугольника BDC больше внутреннего угла, не смежного с ним).

Следовательно, ∠BDA > ∠BAD.

По теореме о соотношении сторон и углов в треугольнике, сторона, лежащая против большего угла, больше стороны, лежащей против меньшего угла. Значит, AB > BD, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий любую точку основания равнобедренного треугольника с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.