247 На рисунке 130 АВ = AC, AP=AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину ос- нования ВС и перпендикулярна к нему.

а) Дано: ΔABC — равнобедренный (AB = AC), AP = AQ, точка O — точка пересечения BP и CQ.

Доказать: ΔBOC — равнобедренный.

Доказательство:

1) Рассмотрим ΔABP и ΔACQ: AB = AC (дано), AP = AQ (дано), ∠A — общий, следовательно, ΔABP = ΔACQ по двум сторонам и углу между ними.

2) Из равенства треугольников ABP и ACQ следует равенство углов ∠ABP = ∠ACQ и равенство сторон BP = CQ.

3) Рассмотрим ΔBOC. В этом треугольнике ∠OBC = ∠ABC - ∠ABP и ∠OCB = ∠ACB - ∠ACQ. Так как ∠ABC = ∠ACB (углы при основании равнобедренного треугольника ABC) и ∠ABP = ∠ACQ (доказано выше), то ∠OBC = ∠OCB.

4) В треугольнике BOC углы при стороне BC равны, значит, треугольник BOC - равнобедренный с основанием BC, что и требовалось доказать.

Ответ: ΔBOC — равнобедренный, доказано.

б) Дано: ΔABC — равнобедренный (AB = AC), AP = AQ, точка O — точка пересечения BP и CQ.

Доказать: OA ⊥ BC и OA проходит через середину BC.

Доказательство:

1) Пусть M — середина BC. Докажем, что точка O лежит на AM, и OA ⊥ BC.

2) Рассмотрим ΔABM и ΔACM. AB = AC (дано), BM = CM (т.к. M - середина BC), AM — общая сторона, следовательно, ΔABM = ΔACM по трем сторонам.

3) Из равенства треугольников ABM и ACM следует равенство углов ∠BAM = ∠CAM, то есть AM - биссектриса угла BAC.

4) В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой, следовательно, AM ⊥ BC и AM проходит через середину BC (точку M).

5) Поскольку BP и CQ пересекаются в точке O, то O — центр тяжести треугольника ABC. Центр тяжести лежит на медианах треугольника, следовательно, точка O лежит на медиане AM.

Из пунктов 4 и 5 следует, что OA ⊥ BC и OA проходит через середину BC.

Ответ: Прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему, доказано.