6 Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Утверждение 1: Против большей стороны лежит больший угол. Предположим, что в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC. Докажем, что угол C больше угла B. Доказательство: 1. Отложим на стороне AB отрезок AD, равный AC. Получим равнобедренный треугольник ADC. 2. В равнобедренном треугольнике ADC углы при основании равны, то есть $$\angle ADC = \angle ACD$$. 3. Угол ADC является внешним углом треугольника DBC, поэтому $$\angle ADC > \angle DBC$$, то есть $$\angle ACD > \angle B$$. 4. Угол C больше угла ACD, так как $$\angle C = \angle ACD + \angle DCB$$. 5. Следовательно, $$\angle C > \angle B$$, что и требовалось доказать. Утверждение 2: Против большего угла лежит большая сторона. Предположим, что в треугольнике ABC угол C больше угла B. Докажем, что сторона AB больше стороны AC. Доказательство: Докажем от противного. Предположим, что AB не больше AC. Тогда возможны два случая: 1. AB = AC. В этом случае треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны, то есть $$\angle B = \angle C$$. Но это противоречит условию, что $$\angle C > \angle B$$. 2. AB < AC. В этом случае, согласно доказанному выше, против большей стороны AC должен лежать больший угол B, то есть $$\angle B > \angle C$$. Но это также противоречит условию, что $$\angle C > \angle B$$. Таким образом, оба предположения приводят к противоречию. Следовательно, остается единственная возможность: AB > AC, что и требовалось доказать.