Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) AB ∥ CD, ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники BAC и ACD. По условию ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC, а сторона AC у них общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AB = CD и BC = AD. В выпуклом четырёхугольнике равенство обеих пар противоположных сторон означает, что ABCD — параллелограмм.

б) Так как AB ∥ CD, внутренние односторонние углы при секущих AD и BC supplementary: ∠A + ∠D = 180° и ∠B + ∠C = 180°. По условию ∠A = ∠C, поэтому ∠D = ∠B. Значит, обе пары противоположных углов равны. Выпуклый четырёхугольник с равными противоположными углами является параллелограммом.

Ответ: в обоих случаях ABCD является параллелограммом.