Докажите, что выражение x² - 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях х.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выделим полный квадрат из выражения x² - 12x + 38.
   Вспомним формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Или квадрата разности: (a - b)² = a² - 2ab + b².
   Наше выражение начинается с x² - 12x. Это похоже на начало квадрата разности, где a = x.
   Тогда 2ab = 12x, значит, 2 * x * b = 12x. Отсюда b = 12x / (2x) = 6.
2. Шаг 2: Преобразуем выражение, используя найденный b=6.
   x² - 12x + 38 = (x² - 12x + 6²) - 6² + 38.
   Мы добавили и вычли 6², чтобы не изменить значение выражения.
   (x² - 12x + 36) - 36 + 38.
   Теперь первая часть в скобках является полным квадратом: (x - 6)².
3. Шаг 3: Упростим полученное выражение.
   (x - 6)² - 36 + 38 = (x - 6)² + 2.
4. Шаг 4: Проанализируем полученное выражение.
   Выражение имеет вид (x - 6)² + 2.
   Квадрат любого действительного числа (x - 6)² всегда неотрицателен, то есть (x - 6)² ≥ 0.
   Следовательно, (x - 6)² + 2 ≥ 0 + 2, что означает (x - 6)² + 2 ≥ 2.
   Таким образом, минимальное значение выражения равно 2, и оно всегда положительное.

Доказано. Выражение x² - 12x + 38 всегда принимает положительные значения, так как оно равно (x - 6)² + 2, а (x - 6)² ≥ 0.