82. Докажите, что выражение (2x⁶ - 4x² - 2) - (x - x² - 3) + (3x² + x) принимает положительные значения при любых значе- ниях х. Какое наименьшее значение принимает это вы- ражение и при каком значении х?

Упростим выражение: $$(2x^6 - 4x^2 - 2) - (x - x^2 - 3) + (3x^2 + x) = 2x^6 - 4x^2 - 2 - x + x^2 + 3 + 3x^2 + x = 2x^6 + (-4 + 1 + 3)x^2 + (-1 + 1)x + (-2 + 3) = 2x^6 + 0x^2 + 0x + 1 = 2x^6 + 1$$ Так как $$x^6 \ge 0$$ при любом $$x$$, то $$2x^6 \ge 0$$ при любом $$x$$, а значит, $$2x^6 + 1 \ge 1$$ при любом $$x$$. Выражение $$2x^6 + 1$$ принимает наименьшее значение, когда $$x = 0$$. При этом наименьшее значение равно $$2 \cdot 0^6 + 1 = 1$$.

Ответ: Выражение принимает положительные значения при любых значениях х. Наименьшее значение равно 1 при x=0.