82. Докажите, что выражение (2x-4x-2)(x-x-3)+(3x² + x) принимает положительные значения при любых значе ниях х. Какое наименьшее значение принимает это вы ражение и при каком значении х?

Преобразуем выражение: $$(2x^4 - 4x^3 - 2x^2) - (x^4 - 2x^3 - x^2 - x^3 + 2x^2 + x) + (3x^2 + x) = $$ $$= 2x^4 - 4x^3 - 2x^2 - x^4 + 2x^3 + x^2 + x^3 - 2x^2 - x + 3x^2 + x = $$ $$= x^4 - x^3$$ Исследуем функцию $$f(x) = x^4 - x^3$$ на экстремум. Для этого найдем производную и приравняем к нулю: $$f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = 0$$ $$x^2(4x - 3) = 0$$ $$x_1 = 0, x_2 = \frac{3}{4}$$ Проверим знаки производной на интервалах: $$(-\infty; 0) \rightarrow f'(x) < 0$$ $$(0; \frac{3}{4}) \rightarrow f'(x) < 0$$ $$(\frac{3}{4}; +\infty) \rightarrow f'(x) > 0$$ Значит, в точке $$x = \frac{3}{4}$$ функция имеет минимум. Подставим это значение в функцию: $$f(\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4})^4 - (\frac{3}{4})^3 = (\frac{3}{4})^3 (\frac{3}{4} - 1) = \frac{27}{64} \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{27}{256}$$ Так как наименьшее значение отрицательно, то выражение не всегда принимает положительные значения. Ответ: Выражение не всегда принимает положительные значения. Наименьшее значение: -27/256 при x = 3/4