9.Докажите неравенство а² ≥ 12ab – 37b2.

Ответ: Неравенство доказано.

Доказательство:

1. Перенесем все члены в левую часть: \(a^2 - 12ab + 37b^2 ≥ 0\)
2. Выделим полный квадрат: \(a^2 - 12ab + 36b^2 + b^2 ≥ 0\)
3. Запишем в виде квадрата разности: \((a - 6b)^2 + b^2 ≥ 0\)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((a - 6b)^2 ≥ 0\) и \(b^2 ≥ 0\), следовательно, их сумма всегда больше или равна нулю.

Ответ: Неравенство доказано.