8. Докажите неравенство: 4x² - 4xy + 2y² + 12y + 37 > 0.

Преобразуем выражение: 4x² - 4xy + 2y² + 12y + 37 > 0 (4x² - 4xy + y²) + (y² + 12y + 36) + 1 > 0 (2x - y)² + (y + 6)² + 1 > 0 Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (2x - y)² ≥ 0 и (y + 6)² ≥ 0. Следовательно, (2x - y)² + (y + 6)² + 1 > 0 при любых значениях x и y. Ответ: Неравенство доказано.